Dass die LED dauerhaft leuchtet, ist logisch. Der Transistor Tr 1 kriegt ja einen Basisstrom geliefert, so dass Tr 1 durchsteuert und die LED leuchtet. Drückst du auf das Knöpfchen, dann Schließt du die Basis und den Emitter von Tr 1 kurz. Es fliest somit kein Strom mehr in die Basis von Tr 1 und die LED geht aus.
Deine Schaltung müsste also so aussehen, dass Tr 1 nur dann Strom auf die Basis bekommt, wenn der Draht geöffnet wurde. Bei deiner jetzigen Schaltung hast du ja einen Stromteiler. Der Strom durch R2 teilt sich auf in den Basisstrom von Tr 1 und den Kollektorstrom von Tr 2.
Aber mal 'ne Frage: Soll R3 etwa in Milliohm sein?