Warum sollte es?
Ein Webbrowser schickt oder empfängt ja nur dann Daten, wenn du eine Webseite aufrufst (jedenfalls sollte er das) - diese Öffnen dann auch pro Webseite eine oder mehrere Verbindungen, bei denen das Betriebsystem am Ende entscheidet, wie viel der begrenzten Netzwerk/Internet-Bandbreite zu Verfügung gestellt wird.
Und weil Browser eh alle auf die gleiche Weise Webseiten abrufen, spielt es verbindungstechnisch eigentlich keine Rolle, ob du jetzt zwei Seiten gleichzeitig in zwei verschiedenen Browsern oder in einem Browser mit zwei Fenstern lädst.
Wie Griggi allerdings sagte, gibt es andere Faktoren: Wenn der Browser eine Auto-Update-Funktion hat, kann es natürlich sein, dass diese den Internet-Traffic verlangsamt - auch macht es keinen Sinn, immer verschiedene Browser offen zu haben, weil diese ja nebst dem Internet noch andere Ressourcen wie CPU und RAM benötigen.
Ein auf der Festplatte installierter, aber nicht gestarteter Browser wird aber weder dein Internet noch deinen PC langsamer machen.